猫有九条命？高处落下为啥不容易受伤？李永乐老师讲落猫问题
最近有個小朋友給我提了一個問題
他說 為什麽有人說貓有九條命
從高處掉下來不容易摔傷呢
很顯然 貓從高處掉下來的時候 它會轉向
比如說這有一只貓
你把它頭朝上 然後這樣扔下來
這樣它就會在空中翻個個兒
然後用腳朝下的姿勢著地 對吧
所以這樣一來它的傷害就比較小
但是貓並非是摔不死的
它貓也是很容易摔傷的
那麽這貓為什麽能夠在空中進行轉向
這個問題其實並不簡單
許多科學家對這個問題研究上百年
這裏面甚至包含了世界上最一流的科學家
斯托克斯 麥克斯韋等人
那我們今天就想解釋一下
為什麽貓在空中可以轉向
這又涉及到一個物理學問題角動量守恒了
人們對這個問題發生興趣
就是因為貓在空中轉向這件事
好像是違背了物理學的基本觀點 角動量守恒
怎麽違背的呢
我們還是再介紹一下角動量
角動量我們在上一期其實給大家介紹過了
角動量就是一個旋轉物體 它具有一個物理參數J
這個J 它是個矢量
它等於什麽呢
它等於這個物體每一部分的質量
再乘以這一部分到轉軸的距離的平方
再乘以這個物體的角速度
這個就叫角動量
舉個例子來說 比如說有一個盤子
這個盤子它正在繞中間這根軸 在逆時針的旋轉
角速度就是表示它轉的快慢
好 在這種情況下
我們把盤子上的每一小塊質量
與它到轉軸的距離r的平方乘起來
然後再乘以它的角速度
把它整個每一塊質量加和 這就是角動量了
它的方向是用右手螺旋定則來判定的
就是我們的右手 四指的方向順著轉動的方向
則大拇指的方向就指向的是角動量的方向
也就說這個盤子它的轉動角動量是向上 向上
好吧 那麽有個角動量之後
我們還要談到一個問題 守恒
什麽時候角動量守恒
如果物體在不受力或者是力過轉軸的時候
它的角動量是不能發生變化的
角動量是不變的 角動量守恒
角動量守恒在生活中的應用非常非常多
以前我們舉過幾個例子 咱們再來舉幾個
舉個例子 比如說有一個地面
但是這個地面是非常非常光滑的
無限光滑 沒有一點摩擦力的
有一個人在這個地面上站著
然後他用雙手舉重 舉了一個啞鈴
大概是相當於是這麽個姿勢 就這麽舉著
然後我現在問 我能不能把這個啞鈴轉個向
有人說轉向 那不很簡單嗎 不是
你要註意在光滑地面上你是很難轉向的
假如你這個啞鈴往這邊拽
你身體會不由自主的往左歪 會變成這個樣子
你轉回來 身體也恢復
你往左轉 身體會往右歪 會變成這樣
說這個原因是什麽 咱們說一下
這個原因 就是因為首先這個系統它是光滑的
只有重力和支持力都過轉軸
所以我們以這個軸線 以這個為軸
在這種情況下它角動量是不能變的
最開始誰也沒動 對吧
角動量是幾 角動量一直都是0
好 現在我們要對它進行旋轉了
我這個啞鈴如果是這樣旋轉的
從上往下看 逆時針旋轉
為了滿足角動量不能變
你這個啞鈴逆時針旋轉 所以啞鈴的角動量就向上了 J1
我就必須得有一個向下的角動量
誰 只能是人的身體 對吧
所以人的身體會自然而然就會反轉
人的身體會反轉 會這樣轉 ω2
這樣一反轉 人的身體角動量不就向下了 對不對
但是它們兩個轉的角度可能是不一樣的 為什麽
因為它們的mr^2不同 mr^2其實叫轉動慣量
我們不用管它 反正如果啞鈴往左轉 身體必須往右轉
啞鈴往右轉 身體就必須往左轉
除此之外 咱們再舉個例子
比如說有一個人在走路
這是人 我這是俯視圖
這是人 人的兩個眼睛在前面 頭發 這樣的
他這個身體是個長方形
人走路的時候肯定是一條腿在前一條腿在後 對吧
所以有一條腿 他邁到前面去了
這是第一條腿
這一條腿就邁到前面去了
還有一條腿他就走到後面去了
但是人有兩個胳膊
這兩個胳膊肯定跟腿的運動方向是相反的
也就是說你左腿在前 對吧
所以你左胳膊是朝後擺
你的右腿在後 你的右胳膊會朝前擺 對吧
會出現這樣的情況
也就是說這個人不雙拐 他這麽走路 對吧
他這麽走路
問題就來了 他為什麽要這麽走路
雙拐為什麽走起來很不舒服
咱們仔細看 我們還是俯視圖
以這個人的脊柱為軸去研究這個問題
本來這個人是沒動的 對吧
所以這個人角動量是0
但是他一旦把左腿往前伸 右腿往後邁
咱們仔細思考一下 我們以脊柱為軸的話
這個人的兩個腿 他是不是就具有了一定的轉動
就這個樣子的 相當於這個腿是往這邊轉的 對吧
所以他實際上就具有了一個這樣方向的角速度
也就是說我們用右手定則一判定
他會具有一個J1 一個角動量
這個角動量是垂直於紙面向裏的
換句話說是向下的 就是相對於這個人來講是向下的
那我們角動量必須是守恒的
你不能突然之間有了 怎麽辦
我還必須得有一個反向的角動量
這個反向的角動量就是讓身體要反著轉 對吧
這個時候我們要有一個J2
這個J1和J2必須是反向等大的
誰來提供這個反著轉的角動量 胳膊
所以右胳膊向前左胳膊向後
整體人就這樣轉了 對吧
他倆一抵消 跟以前一樣滿足角動量守恒
所以人走的就比較舒服
假如你非要雙拐著去走
你就需要地面的摩擦 走起來就很不順
好了 我們舉了這麽兩個例子
那麽我們現在回頭來思考一個問題
就是說角動量其實告訴我們
人的身體兩個部分是要反著轉的
頭部向左 身體就要向右
那麽假如有這麽一個問題
叫做在一個絕對光滑的冰面上沒有任何摩擦力
人能不能轉向呢
你看我站在一個絕對光滑的冰面上
如果我的頭朝左轉的話 我身體就會往右歪
頭回來的話身體也會回來
我這樣一來我好像是沒有辦法轉到左邊去 對不對
因為地面沒有摩擦
現在有沒有辦法轉到左邊去
我們有這樣一個方法
就是可以搖胳膊
什麽叫搖胳膊呢
我們可以把人的軀幹還有手臂看作是兩個不同的部分
那麽此時這個人 他有兩種方法
第一種方法是他可以把胳膊收到胸前 對吧
這種情況下我們看 這個胳膊它的r2就比較小
也就是說它的轉動慣量mr^2ω 這個r它就小
胳膊的是r2 胳膊的r就比較小
但是如果這個人把胳膊伸出去
這胳膊就離你的轉軸比較遠了 對不對
所以這個時候胳膊的這個轉動的半徑r2就比較大
這樣的話胳膊的轉動慣量就不一樣 是吧
我們知道在轉動的時候 人和胳膊可以反著走
人的軀幹往左轉 胳膊往右轉
但它必須滿足角動量守恒
也就是說軀幹的質量乘以到轉軸距離的平方
再乘以軀幹的角速度
必須等於
手臂的質量乘以到轉軸距離的平方乘以角速度
必須有這麽一個結果
所以咱們看 如果你把胳膊伸出去
這個時候胳膊的r2比較大
r2比較大 假如其它量都是一定的話
它就會造成軀幹的轉動的角速度ω1比較大
因為它們兩個相等
這一項大的話 我就可以在ω2一定的情況下
我可以讓ω1大一些
反過來說
如果我要是把胳膊縮回胸前再進行轉動的話
那這個r2就比較小了
r2比較小 如果我ω2不變的話
那軀幹的轉動速度ω1就會比較小
那我到底想說什麽 咱們來演示一下
實際上是這樣的
我可以 我先把胳膊伸出去
伸出去之後 我讓胳膊往這邊轉動
胳膊轉動的時候 我身體會反向轉 對吧
此時就處於第一種情況 身體轉到ω1比較大
然後我把胳膊縮回來
縮回來之後我在胸前把胳膊轉回來
這個時候因為胳膊離軀幹近 r2小
所以身體往回轉 但它轉的少
於是我就可以反復這麽折騰 反復這麽折騰…
最後我的身體就會轉過去了
大概就是這個樣子
所以我們利用角動量守恒
其實是可以在一個光滑的冰面上實現轉向的
而貓從空中落體時可以進行轉動
原理跟這個差不多
我們來研究一下
關於貓掉下來的問題 叫做落貓問題
或者叫貓落問題
貓從空中掉下來的時候不需要借助其他的外力
它就可以實現自己身體的轉向
很多人認為這是違背物理學道理 角動量守恒的
那是因為本來你沒有轉 你就不應該能夠轉
你要轉的話也是身體頭向前轉 腿向後轉
你不可能整個身體轉過來
那麽究竟貓是怎麽轉過來的呢
我們來畫幾個圖
首先我們拿著一只貓 我讓這只貓腳朝上
這是一只貓 它的這個四個腳朝上的
這是它的頭 嘴 眼睛 耳朵
還有一根尾巴 是吧 這個樣子的
為了看得更清楚 我們在貓的肚子上畫一個胎記
就這個貓肚子上有胎記 是吧
好 我現在松手了
松手了之後貓會怎麽樣
貓首先會努力的把自己的頭和前半身轉過來 是吧
那麽我們知道根據角動量守恒
你前半身往前轉的時候 你後半身必然會往後轉
所以貓就會出現這樣的一個效果
什麽效果呢
這是它的嘴 這是它的耳朵
它的頭在往這邊轉 它的前腿會縮回來
然後讓自己的前半身這樣旋轉
此時它肚子上這塊胎記在這個位置
而它的腿特別有意思
它的有一只腿會伸直 會伸得比較直
另外一只腿會縮回來 它的尾巴開始旋轉
也就是說你前半身往這邊轉的時候
你後半身實際上是往後轉的 是這樣轉的
好 我們繼續看第三個階段是什麽樣
過了一會 當這個貓的前半身完全的轉過來之後
這是它的頭 在這個位置
眼睛 嘴 還有耳朵 在這個位置
它又會把兩個前腿伸出去
把後腿攤平 攤到自己身體的後邊
然後尾巴在這個位置
此時它的胎記 肚子這 在這
最後它會身體拱起來
然後讓這個後腿也朝下 前腿也朝下
然後它的尾巴還在這擺著
最後它就落地了 胎記在這個位置
最後這個貓它就落地了
好 這是整個一個貓往下落的這麽一個過程
我們來看一下
這個過程為什麽說它是不違背角動量守恒的
我們首先把角動量分為三個方向
一個方向是朝外的
也就是垂直黑板平面向外 我們定為x方向
一個方向朝右 沿著貓的前後的方向 叫y方向
還有一個方向豎直向上 叫z方向
我們分別來看這三個方向的角動量
因為角動量本來它就是個矢量 對吧
所以它是有方向的
我們看這三個分量就好了
我們先來看第一個分量 就是x方向
x方向我們只考慮… 1 2 3 4
只考慮這四個狀態中的1和4兩個狀態
在第1個狀態中 這個貓是這樣拱的
這樣拱的 對吧
我就不畫腿了
後來到了第4個狀態的時候 這個貓身體會往下拱
我們看 這個過程是否違背角動量守恒
不違背 為什麽呢
我們看x方向
你身體的右半部 身體的右半部這個你往下了
所以它實際上相當於往這邊旋轉
往這邊旋轉會有一個什麽樣的角動量
我們手一握它 大拇指方向朝裏 對吧
會有一個垂直黑板平面向裏的角動量
身體的左半部也是這樣轉的
那這樣轉會有一個什麽樣角動量 我們再比劃一下
這麽轉 角動量是向外的
所以它的身體的後半部會有一個向外的角動量J2
這兩個角動量一合成 一個點一個叉 就抵消了
所以在x方向 它實際上始終角動量是0
雖然它轉了
但是它身體的前後兩個方向它是反著轉的
所以x方向其實沒有角動量的變化 滿足角動量守恒
咱們再來看y方向 這個方向是最難分析的
y方向就是你的身體會不會繞著水平軸轉呢
我們來看第2個狀態
在第2個狀態下 這個貓身體還是有一點拱
身體還是有一些拱 它把前腿縮回來
然後頭在這個位置
它的胎記在這
此時它身體的前半部 咱們看
前半部它是往我們這邊轉的 對吧
在這種情況下
它實際上身體的前半部是繞著一個軸在旋轉的
所以它會有一個這個方向的角動量叫J3
這樣的一個角動量
那麽誰去抵消它呢 身體的後半部
它把這個後腿伸出來一只
另外一只後腿它就縮回去
它的這個尾巴還在旋轉
此時我們會發現它整個身體的後半部
後半部包括它的尾巴都在怎麽旋轉
都在這樣旋轉
這樣旋轉 我們手一比劃
它的角動量方向J4就是這個方向
J3和J4其實並沒有完全抵消 對吧
但是至少在水平方向上它們是反的
它們兩個一合成 整個的角動量是向上的
這個角動量向上 叫J5吧 整個是向上的
水平方向是沒有分量的
所以造成什麽結果
造成在這個時候 水平方向y方向它的角動量之和是0
滿足角動量守恒 對吧
那麽我們為什麽要把前腿縮回來後腿伸出去呢
這個很簡單
你前腿縮回來的話你離軸就近
換句話說 前腿縮回來它的這個r就比較小 對不對
r1就比較小
根據mr^2ω是常數
你r比較小的話 它的ω就大
ω大說明什麽 說明前面的身體轉動的比較快
後面它把這根腿伸出去
它把這個尾巴也伸出去 旋轉
此時這個腿也好 尾巴也好
它離身體轉軸都比較遠
所以它這個r2就比較大
mr^2ω不變 對吧
所以它的ω2就比較小
也就是說它身體很有可能是轉了180度
它的這個腿和尾巴可能只轉了比如60度
所以這樣一來 它後腿往後轉的角度比較小一些
貓的身體非常柔軟
所以它做這件事他是做得到的
做完了之後 它又回到了第三個狀態
在第3個狀態 它整個的身體就基本上平過來了
頭在這個位置 眼睛 耳朵
它又會把前腿伸出去
前腿伸出去之後後腿整個攤平 尾巴還在那旋轉
為什麽要這個樣子
那是因為它把前腿伸出去 所以誰就大了
所以它r1就大了 r1大ω1就小
所以在它擺弄後腿的時候
前面的身體可以基本上保持不變
後腿本來是在後面 往後轉了
你還得再轉回來 對不對
所以你這個後面的身體是往回轉的
所以你需要把後腿伸平
這樣一來後腿離轉軸比較近
這個r2就比較小 它ω2就比較大
這個後面身體比較容易轉回來
但是問題是你身體往回轉的時候
你的確會有一個這樣的角動量叫J6
誰去抵消你 尾巴
它的尾巴此刻其實還是在這樣轉動的
所以它就會有一個尾巴的角動量叫J7
這個J6和J7又可以抵消 是吧
也就是這個過程大概是這樣
身體前半部先轉 身體後半部往後 尾巴也往後
當身體前半部轉過來之後 身體後半部往回轉
尾巴繼續往後轉 這樣一來整個身體就可以過來
大概我們演示一下 就是這個樣子的
這是一個貓
它往下落的時候
開始身體前半部往前 身體後半部往後
當它身體整個轉過來之後 它的後腿又會縮回來
但這過程中它的尾巴是一直在轉
最後終於身體就轉過來了
好 我們再往下看
身體轉過來了之後它要落地了 對吧
我們剛剛討論到x和y兩個方向 還有z方向呢
我們再來看
z方向為什麽角動量也是守恒的
我們剛才說到了
在第2個狀態下 J3和J4合起來角動量是向上的
我們必須抵消它 否則的話角動量就不守恒了
那我們用什麽去抵消它呢
方法是利用這個貓身體的轉向
我們現在開始俯視
俯視圖
俯視的時候這個貓本來是橫著的 這個貓頭在這邊
貓尾巴就在這一邊
在這種情況下
它落地的時候不見得還是這個方向
它落地的時候很有可能是這個方向 斜過來了
貓頭在這 貓尾巴在這
它往這邊有一個轉動
說有一個轉動會怎麽樣 咱們思考一下
如果你這麽轉動 你會有一個角動量向哪
向裏面嗎 對吧
對於貓來講就是向下 它會有一個這樣的角動量
叫J8 會有一個J8的角動量
這個角動量是向下的
也就是沿著什麽 沿著-z方向的
我們剛才在第2個階段的時候出現一個向上的J5
這個向上的J5和這個向下的J8就可以抵消
所以整體來講z方向也沒有角動量不守恒
這樣一來貓在下落過程中通過它身體的扭曲
就可以實現任何時刻角動量都是守恒的
但是 它就可以實現整個身體的一個轉向
不光貓可以用腳著地
同時因為貓在落地的過程中會受到空氣阻力的影響
所以它的速度並不會一直增大
而會增到某一個值 大概是100千米每小時的時候
它就不再加速了
所以對於貓來講 從七層跳起來還是從一百層跳下來
其實最後結果沒有什麽區別
因為它落地速度其實是相等的
這個問題最早是由一個叫做馬雷的人研究的
他用高速攝影機 一片一片的攝影
去拍這個貓下落
然後還寫了一篇文章
發表在這個國際頂級期刊《Nature》上
那是在1894年的事了
結果這100年來人們對這個問題的熱情
一直都沒有減退
直到現在還有人隔三岔五的往這個期刊上投雜誌
就研究這個貓落體的問題
所以說生活中一個很簡單的現象
很有可能都會蘊含著很深刻的物理學道理
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